Limite





Limites d'une fonction - 1ère Bac Sciences




📘 Les Limites d’une Fonction – 1ère Bac Sciences



Ceci est un cours structuré sur les limites de fonctions correspondant au programme de 1ʳᵉ Baccalauréat Sciences au Maroc. :contentReference[oaicite:1]{index=1}




1. Notion Intuitive de Limite


La limite d’une fonction f(x) quand x se rapproche d’un réel a décrit le comportement de f avant d’atteindre a. En d’autres mots :


limx→a f(x) = ℓ


signifie que lorsque x devient très proche de a, alors f(x) devient très proche de ℓ. :contentReference[oaicite:2]{index=2}





2. Types de Limites



2.1 Limite finie


Si x se rapproche d’un point a et que la fonction se rapproche d’un nombre réel ℓ, alors :


limx→a f(x) = ℓ



2.2 Limite infinie


Si f(x) devient très grand (positif ou négatif) quand x s’approche d’un point, alors on a :


limx→a f(x) = +∞ ou −∞



2.3 Limite à l’infini


On étudie le comportement de f(x) quand x grandit ou diminue beaucoup :


limx→+∞ f(x) = L ou limx→−∞ f(x) = L





3. Techniques de Calcul des Limites



Voici les méthodes principales :



  • ✔️ Substitution directe si la fonction est continue à a

  • ✔️ Factorisation pour simplifier les formes indéterminées 0/0

  • ✔️ Utilisation du conjugué pour les racines carrées

  • ✔️ Comparaison des taux de croissance (pour x→±∞)





4. Exemple Simple



Soit :


f(x) = (x² − 1) / (x − 1)


Factorisation :


(x² − 1) = (x − 1)(x + 1)


Donc :


f(x) = x + 1 (quand x ≠ 1)


Alors :


limx→1 (x² − 1) / (x − 1) = limx→1 (x + 1) = 2






5. Limites Usuelles


Quelques limites standards :



  • limx→0 (sin x)/x = 1

  • limx→+∞ ex = +∞

  • limx→+∞ ln x = +∞





6. Interprétation Graphique


La limite décrit comment la courbe de f se rapproche d’une valeur (ou d’une direction) sans nécessairement atteindre ce point. :contentReference[oaicite:3]{index=3}